使用 Letax 公式完成数学证明

1、 Letax 简介

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LaTet 数学公式符号速查

2、 数学证明过程 与 Markdown

例如，证明题：

Sign extension

When turning a two’s-complement number with a certain number of bits into one with more bits (e.g., when copying from a 1-byte variable to a 2-byte variable), the most-significant bit must be repeated in all the extra bits.
details see: https://en.wikipedia.org/wiki/Two%27s_complement#Sign_extension

证明思路: 对于正数 x ，显然成立。 对于负数 N(x) = 2^k - x = 2^m - x where m > k。 因此，当 k 位表示的 N(x) 扩展到 m 位表示时， 它们之间的差是 2^m - 2^k = （2^m -1） - （2^k - 1）。 因式分解 （2^m -1）， 运用位值表示法得知它用 m 位 1 表示， 同理 （2^k - 1） 用 k 位 1 表示， 其差是从 k+1 到 m 位为 1。 负数 N(x) 第一位为符号位，即 1。 将第 k 位符号位重复填充到 m 位，其表示的整数不变。 例如： -42 八位二进制表示是 1101 0110 ，根据上述证明， 十六位二进制表示是 1111 1111 1101 0110。

Proof:

$\because$ Positional Notation ${(x)}_{2} = \sum_{i=1}^{k}d_{i}2^{i-1}$

$\because$ Two’s complement

$N(x) = 2^{k} - x$, where k is the number of bits for an integer

and, $N'(x) = 2^{m} - x$ where $m > k$

$\therefore$ $N'(x) = 2^{m} - x = (2^{m} - 2^{k}) + 2^{k} - x = (2^{m}-1) - (2^{k}-1) + N(x)$

$\because$ $2^{m}-1 = (2-1)\sum_{i=1}^{m}2^{i-1}$, that is m bits 1. So the same, $(2^{k}-1)$ is k bits 1

$\therefore$ If N(x) is a negative binary integer, the most-significant bit can be repeated in all the extra bits

$\blacksquare$